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数形结合妙解函数综合题

2022-07-28 12:39:04

微信朋友圈昵称为“三年后”的童鞋又问到了函数综合题的解法,题目如下.



在昨天的文章《图象变换解压轴题》中,我们提到过数形结合思想在小题中的考试方向,即主要考察从“数”到形的能力,考察学生用直观的形简化复杂运算的能力.


1

画图:小心渐近线


本题首先画出函数f(x)的草图.


一步一步来,先画出函数y=3^x的草图,这是常见的指数函数,而且底数3>1,所以在R上为单调递增函数.


然后画出函数y=3^x-1的草图,只需把上面这个函数的图象向下平移1个单位长度即可.


接下来画出函数y=|3^x-1|的草图.同学们都学过图象的绝对值变换规律,只需把上面这个函数的图象在x轴上方的部分保留,在x轴下方的部分沿x轴翻折上去即可.


请注意画图的准确性.


考试时虽然画的是草图,不可能太准确,但是关键的位置必须画对.


渐近线!


函数y=3^x的图象有一条渐近线是y=0,则函数y=3^x-1的图象有一条渐近线是y=-1.此函数图象x轴下方的部分翻折上去之后,得到函数f(x)=|3^x-1|的图象,则新函数图象有渐近线y=1,如上图所示.


2

定位:根据单调性


由函数f(x)的图象可以看出,f(x)有两个单调区间,在负区间为单调减函数,在正区间为单调增函数.


那么三个自变量a,b,c分别应该在什么范围之内呢?


可是b在什么范围内呢?


从已有的条件来看,b介于c,a之间,但是我们无法确定b>0还是b<0.结合函数值的大小关系,可能的图形如下.



因为b是否大于0不确定,所以3^b是否大于1就不确定,故不能选A和B.


3

作线:变换到同一个单调区间


再来研究选项C和D.


假设在正区间存在点c',使得f(c')=f(c),如下图所示.


由图可知c'>a>0.


对于绝对值函数,通过作一条平行于x轴的平行线找到与f(c)相等的另外一个位置,是解决这类问题的常用做法.


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