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中国宋元时期的天文学与数学

MOOC 2021-04-05 15:02:58

内容来源:选自《中国通史》

转载公众号:赛先生

 

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天文学


宋朝历法一共改了十九次,是我国历史上历法改革频繁的一个朝代。历法的不断改革,反映了天文学研究的活跃。


宋朝天文学的发展可分为三个阶段。北宋初到神宗前,历法以崇天历为代表,主要成就是超新星的观测;神宗朝到北宋末,历法以纪元历为代表,主要成就是水运仪象台的制造;南宋时代以编撰统天历为著名。


北宋初,用后周王朴的钦天历。钦天历在天体运动的计算中提出了等加速运动的公式,是准确的。仁宗朝用崇天历前后达四十年。著名的天文学家楚衍参与崇天历的编撰。在司天监任职四十多年的天文学家杨惟德,在他的著述中曾一再介绍崇天历。崇天历的天文数据较接近天文实际。至和元年(一〇五四年)四月朔 有一次日全食。


当时在汴京观测这次日食是“日食既,至申乃见,食九分之余”。用崇天历推算食甚时间在申正一刻二十分,食分为九分半弱,与观测所得几乎相同。北宋又有纪元历,是天文学家姚舜辅等所编撰,它的求赤道坐标变换为黄道坐标的计算方法比较简易。


纪元历中还引进了四次方程式的算法。它的各项天文数据多为金大明历和元授时历所采用。北宋沈括提出了十二气历的编制方法,虽没有实行,但在历法史上无疑是一项卓越的成就。


北宋的天象观测很有成绩。对天空三十一大区(即三垣:紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿)恒星位置的观测共进行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元丰、绍圣和崇宁年间各进行过一次。元丰时的观测被画成星图,见于苏颂的《新仪象法要》和黄裳的天文图。


一二四七年(淳祐七年)黄图在乎江府复刊,即现存的苏州天文图。崇宁年间观测到的记录,部分载入纪元历内,所测二十八宿距度星的平均误差绝对值只有0°.15,已很精密。


江苏苏州南宋石刻《天文图》


北宋有两次超新星的观测,一次是一六年(景德三年),一次是一五四年(至和元年)。前者是在司天监内观测到的,在骑官星西,相当今天蝎宫星座,形状如同半个月亮,四周有光芒,亮度可以鉴别物体。


后者是杨惟德观测到的。这星本来很暗淡,他观测时忽然亮起来,星的亮度和金星差不多,四周都是光芒,颜色已达到炽白状。这是因为星的内部结构突然变化而引起爆发,亮度增加千万倍所致。杨惟德观测到这颗超新星的位置在天关星附近,相当今金牛宫星座内、所以这超新星称为一○五四年金牛座超新星。


二年(咸乎五年)司天监对狮子座流星雨的观测,一六四年(治平元年)沈括对陨星的观测,一六六年(治平三年)司天监对哈雷彗星的观测,都很有名。沈括对这次陨星的记录也很翔实。历史上以陨星为陨铁的解释,沈括是第一人。


 

元代铜壶滴漏


北宋的天文仪器制造也有成就。在计时仪器方面,仁宗朝有燕肃造莲花漏,在很多州使用。莲花漏就是浮漏,用两个放水壶,一个受水壶,再用两根叫“渴乌”的细管,利用虹吸原理,把放水壶中的水,逐步放到受水壶中,使受水壶中水平面高度保持恒定。相等时间内受水壶的水流速度恒定,据以测定时间。


元祐年间,苏颂和韩公廉等制造水运仪象台。这是把测量仪器的浑仪,表演仪器的浑象和计时仪器集中在一起的一项划时代创作。这个水运仪象台分三层,高三丈,上层放浑仪,中层放浑象,下层是传动机械设置部分。


在报时的设置上又分五层木阁。古代以一天为一百刻,又一天有十二时辰,一夜有五更,一更有五筹(五夜)。这五层木阁都能报告出来。这个仪器用水力转动,吸收前人许多优点而发明了和钟表中相同的擒纵器,使这仪象台有节奏的按时转动,把报时、观象、测天同时表达出来。


刘弇(元丰二年进士)在《龙云集》卷二《太史箴并序》一文中说:“其后筑台,别置浑仪象,激金水其下,机擎轮吞排,晦斡明至,与造化分疾徐低昂。”推崇备至。


南宋改历,以宁宗朝杨忠辅的统天历为冠。统天历定一回归年的长度是365.2425日,和现代通用的格列高利历相同。后来元朝的授时历也同这个数据。统天历还提出了回归年日数长度变化的法则。


绍兴年间,王及甫曾制造假天仪,见他所著的《天经》。这假天仪整个形状象一个瓮,瓮里面“钻穴为星”,把我国看不到的南天星座部分作为瓮口,瓮用柱撑起,瓮口有四柱小梯,观看时可以扶梯进去。


这个瓮还有一根轴可以转动表演。元朝郭守敬造玲珑仪也是一个假天仪,是王及甫工作的继续。


金灭北宋,把纪元历也带到北方,成为金杨级编大明历的底本。一一八年(大定二十年),赵知微重修大明历。赵知微的贡献有两条,一是对太阳视运动的计算中初步用了内插法三次差的公式。二是对日月食食限的计算用了几何方法。这都是天文计算方面进步的措施。


契丹人耶律履修乙未历,没有实行。后来耶律履之子耶律楚材在元初修庚午历,庚午历内容虽十九采自赵知微的大明历,但耶律楚材在历法中提出了朴素的地球经度(里差)概念,也是我国古代天文学上的一项创见。又据《金史·天文志》,兴定五年(一二二一年)司天台内还有女真族天文学家夹谷德玉担任天象观测工作。


金朝从北宋得到的天文仪器,放在法物库内搁置了二十多年。一一五四年(贞元二年)始交司天台管理。贞祐南渡后没有搬回开封。又因当时铜的缺乏,在开封也没有造新的浑仪。


据《金史·章宗纪》,承安四年(一一九九年)有丑和尚进浮漏、水称、影仪、简仪等图,当时“命有司依式造之。”浮漏即指莲花漏。水称在北宋水运仪象台中约相同于天衡。影仪和简仪的内容不详(可能为后来郭守敬造简仪和景符时所据)。


明昌年间,张行简又造星丸漏,比较新颖。星丸漏北宋叫辊弹漏刻,很少记载,相传是后唐僧人文浩所发明。利用一铜丸,通过四个曲折的孔道,从上放入自下落出,保持恒定速度而测定时刻,在行军和旅途中应用。


后来元朝都城用的碑漏,也是星丸漏的一种。又据《金史·章宗纪》,泰和四年(一二四年)司天台长行张翼曾进《天象传》。长行是司天台内的散职官名,《天象传》当是天象记录的专书。


郭守敬


元朝天文学以郭守敬等人编制授时历为其高潮。清代所编《畴人传·郭守敬传》说:“推步之术,测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、几之制,前此言测候者未之及也;垛叠招差、勾股弧矢之法,前此言算造者弗能用也。


先之以精测,继之以密算,上考下求,若应准绳,施行于世,垂四百年。可谓集古法之大成,为将来之典要者矣。”这不独是对郭守敬等人的评价,也是我国古代天文学的总结。测是观测,代表仪象;算是历算,代表历法。先通过观测实践,再通过计算实践,所得结论是“若应准绳”,便以为法。


一二八年(至元十七年)授时历编成,郭守敬等人在给忽必烈的奏报中说:自西汉三统历到北宋纪元历共一千一百八十多年,历法改了七十次,其中新创法的有十三家。从纪元历到至元十七年又一百七十多年,授时历考正凡七事,新创法又五事。按授时历中考正七事都是对天文数据的重新测定。


包括冬至时刻、回归年长度、太阳的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太阳出入时刻。其中测二十八宿距度比北宋崇宁年间观测的还要精细。回归年长度则采用了统天历的数据而加以详细证明。创法五事都是对天文计算的改革,可归纳为两点,一是全面用内插法三次差计算并定出公式,即所谓“垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法,即所谓“立浑比量”。


元朝在天文学上还有一项重要的成就,即一二七九年(至元十六年)的大规模纬度测量。这次测量在二十七个观测站举行,地理纬度从北纬15°到65°。


观测河南登封元代观星台的结果在陕西行省、河南行省和中书省直辖地的十四个观测点用纬度值来比较,平均误差在半度以内。可见观测的精细可贵。


数学

  

与天文学关系密切的数学,宋元时代也很发达,出现了好几位有成就的数学家。北宋有贾宪,南宋末有秦九韶和杨辉,金末有李冶,元初有朱世杰。秦、杨、李、朱是金元之际数学上的四大家。



贾宪


贾宪是天文学家楚衍晚年的学生,做过右班殿直和左班殿直。时在沈括之前。王洙《谈录》上说:“贾宪运算亦妙,有书传于世。”贾宪在数学上的发明有二:一是开方作法本源图,就是指数为正整数的二项式定理系数表,从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图,世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。


二是增乘开方法,是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次,平方是二次(是面积),立方是三次(是体积),这都容易理解。再进一步碰到四次是什么,要突破这一点,确实很非凡,开四次方可以,则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。


贾宪以后,沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术,就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系,但沈括的结论还是一近似公式(这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它)。又一项叫隙积术,用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释,沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合,沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势,沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系,于此可见。


秦九韶,南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年(淳枯七年)著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法,解一个一元十次方程式,并附有算图。算图中列算式如层层剥笋,秩序井然,所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法,这就是闻名世界的中国剩余定理。


金代,数学上发明了天元术。大约金中时开始流行,之后得到迅速的推进。一一八四年(大定二十四年),平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书,记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》(约在明昌年间)也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏,《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单,立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后,平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。


天元术以“元”代表未知数X,以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧,如11元即表示2x,或单写太,如11太也同。写了元便不写太,写了太便不写元。方程式的各项是从下而上,即太在元下,太是常数项,元是X项,元上是X2项,再上是X3项等等。太下是1/X(即X-1)项,再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时,正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时,正负数也用红黑色区别,但为了书写方便,可在算码的个位数加一斜撇,如-2作■,-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件,立天元一(x)为未知数(所求数),最后列出方程式,解方程得数。至于解方程式在一元三次以上,就要用到贾宪的方法。


金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》,指演算勾股容圆(直角三角形的内接圆)算题共有十三问。李冶根据此书加以推广,又集天元术的大成,写出了他的名著《测圆海镜》。

天元术出现后,很自然地发展为天地二元木,天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。


现在流传下来的元代数学著作有:《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》(一三五五年),只存辑本;《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》(一二九九年)、《四元玉鉴》(一三三年)存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表,也是当时世界上杰出的数学家之一。


本文编辑:慕编组成员(小端午)


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